Содержание
Население
Вступайте в нашу группу Вконтакте! :)
Меню
ПОИСК
Опросник
Экспонента что это такое
Экспонента - это... Что такое Экспонента?
График экспоненты. Касательная в нуле у функции наклонена на Рядом для примера показаны (точками) и (пунктиром)Экспонента — показательная функция , где e — основание натуральных логарифмов ().
Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:
или через предел:
Здесь x — любое комплексное число.
Свойства
- , в частности
- Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
- Экспонента является выпуклой функцией.
- Обратная функция к ней — натуральный логарифм .
- Фурье-образ экспоненты не существует
- однако преобразование Лапласа существует
- Производная в нуле равна 1, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45°.
- Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции: .
- Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид , где c — некоторая константа.
- где sinh и cosh — гиперболические синус и косинус.
Комплексная экспонента
График экспоненты в комплексной плоскости. ЛегендаКомплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением , где есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты вещественного переменного :
Определим формальное выражение
.
Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции , то есть показать, что разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:
Сходимость данного ряда легко доказывается:
.
Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция всюду определена и аналитична.
Свойства
Вариации и обобщения
Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.
Матричная экспонента
Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:
Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы Следовательно, экспонента от матрицы всегда определена и сама является матрицей.
С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение с начальным условием имеет своим решением
Обратная функция
Обратной функцией к экспоненциальной функции является натуральный логарифм. Обозначается :
См. также
- Показательная функция
- Список интегралов от экспоненциальных функций
Литература
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
- Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.
Что такое экспонента или как заставить чай остывать не так быстро
Когда снежный ком катится с горы, он постоянно увеличивается. Чем больше он становится, тем быстрее катится, чем быстрее катится, тем быстрее растет.
Математики и физики очень любят описывать мир при помощи чисел. А еще больше — при помощи функций. Функция — это правило, по которому одному числу (например, x) ставится в соответствие другое (например y). Функции бывают простые, вроде y=10x или y=x2, а бывают посложнее вроде y=10*sin(7x2+3x-9). Если вместо x и y подставить определенные физические параметры и найти функцию, которая их связывает, то получится закон природы.
Еще у функций есть производная. Это — скорость изменения функции. То есть то, насколько изменится y при небольшом изменении x. Например, в случае функции y=10x производная всегда постоянная: y всегда будет расти в 10 раз быстрее, чем x. А в случае функции y=x2 производная будет меняться. Если мы увеличим x c 0 до 1, то y тоже увеличится с 0 до 1. А если увеличим x с 1 до 2, то y увеличится с 1 до 4. То есть, производная с ростом x увеличилась.
Экспонентой называется функция y=ex, где e — хитрое математическое число, которое примерно равно 2,72. Она обладает замечательным свойством: ее производная равна ей самой. То есть, если расстояние, которое проходит снежный ком, зависит от времени как экспонента, то и его скорость выражается той же самой экспонентой. Это свойство очень помогает математикам решать разные дифференциальные уравнения. Они очень любят с ней работать и стараются разные другие функции путем сдвига, растяжения, или переворачивания графика превратить в экспоненту. Все такие функции можно назвать экспоненциальными. У экспоненциально протекающих процессов есть одно общее свойство: за одинаковый интервал времени их параметры меняются в одинаковое число раз. Банковский вклад каждый год увеличивается на 7%, снежный ком за минуту увеличивается в три раза, а количество урана-235 на атомных электростанциях уменьшается вдвое каждые 700 миллионов лет. Экспоненциальные функции окружают нас повсюду. Экспоненциально развиваются все явления, в которых присутствует обратная связь, когда результат влияет на скорость процесса. В случае со снежным комом обратная связь положительная: чем больше результат, тем быстрее протекает процесс. А масса и скорость снежного кома y экспоненциально возрастают со временем x. Аналогично ведут себя деньги в банке при фиксированной процентной ставке. Чем больше денег, тем больше ежегодный прирост — и тем быстрее денег хватит на домик на Мальдивах. Так же увеличивается численность животных при отсутствии внешних угроз: чем больше популяция, тем больше размножающихся особей, тем быстрее она увеличивается. А еще, когда микрофон подносишь близко к динамику, то самый тихий шорох через секунду превратится в звонкий гул.
Бывает, что обратная связь отрицательная: чем больше результат, тем медленнее идет процесс. Например, когда мы голодны, мы начинаем быстро поглощать еду, но как только чувство голода уменьшается, мы начинаем есть спокойно, потом лениво доедаем десерт. Чай остывает тоже по экспоненте: чем больше разность температур между чаем и воздухом, тем быстрее он остывает. Так что, если вам надо срочно отвлечься на 15 минут, а горячего чаю выпить хочется — налейте в него холодного молока или воды. Тогда разница температур уменьшится, и чай не остынет так быстро, как если бы он был горячим.
Чем быстрее движется струна гитары, тем быстрее она тормозится о воздух, поэтому громкость звука после дерганья за струну экспоненциально уменьшается. Еще один пример — ядерный распад. Каждое ядро может распасться в случайный момент времени, но чем ядер больше, тем больше распадов будет происходить за одну минуту. Чем быстрее ядра распадаются, тем меньше их становится, а значит и интенсивность радиации со временем падает.
Экспоненциальная функция - это... Что такое Экспоненциальная функция?
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что показательная функция … Большой Энциклопедический словарь
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, в общем смысле функция х вида еах , где а постоянная. Экспоненциальную функцию ехр (где е основание натурального логарифма, 2,7182818...) можно представить в виде степенного ряда 1+х+х2/2!+х3/3!+ … Научно-технический энциклопедический словарь
экспоненциальная функция — экспонента — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия Синонимы экспонента EN exponential function … Справочник технического переводчика
экспоненциальная функция — то же, что показательная функция. * * * ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, то же, что показательная функция (см. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ) … Энциклопедический словарь
экспоненциальная функция — eksponentinė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponential function vok. exponentielle Funktion, f rus. экспоненциальная функция, f pranc. fonction exponentielle, f … Fizikos terminų žodynas
Экспоненциальная функция — функция у = ex, то есть Показательная функция. Обозначается также y = exp х. Иногда Э. ф. называют и функцию у = ax при любом основании а > 0 … Большая советская энциклопедия
экспоненциальная функция — экспонента ( лат. exponere выставлять напоказ) мат. показательная функция, т. е. функция вида у = а*, где х независимое переменное. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, , 2009 … Словарь иностранных слов русского языка
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — показа тельная функция, функция у=е х;обозначается также y = ехр х. Иногда Э. ф. наз. и функцию у = а х при любом основании а>0. БСЭ 3 … Математическая энциклопедия
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что показательная функция … Естествознание. Энциклопедический словарь
экспоненциальная — функция [< лат. exponere показывать] – показательная функция, т. е. функция вида ух=а, где х – независимое переменное Большой словарь иностранных слов. Издательство «ИДДК», 2007 … Словарь иностранных слов русского языка
экспонента - это... Что такое экспонента?
ЭКСПОНЕНТА — (от лат. exponens показывающий) то же, что показательная кривая или (экспоненциальная) показательная функция … Большой Энциклопедический словарь
ЭКСПОНЕНТА — ЭКСПОНЕНТА, число, обозначающее степень, которое пишется в виде верхнего индекса справа от цифры или символа. Например, в выражении а4=(а3а3а3а) экспонентой является 4. Операции с экспонентами подчиняются некоторым законам. Например, З23З5=3(2+5) … Научно-технический энциклопедический словарь
экспонента — сущ., кол во синонимов: 1 • кривая (56) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
Экспонента — [exponent] показательная функция с основанием, равным иррациональному числу e, т.е. ex. Если показатель Э., еp(x) содержит сложные выражения, используется запись вида ep(x) = exp {p(x)}. Скорость изменения этой функции в точности равна ей самой … Экономико-математический словарь
экспонента — Показательная функция с основанием, равным иррациональному числу e, т.е. ex. Если показатель Э., еp(x) содержит сложные выражения, используется запись вида ep(x) = exp {p(x)}. Скорость изменения этой функции в точности равна ей самой . Число e… … Справочник технического переводчика
ЭКСПОНЕНТА — (экспоненциальная функция) то же, что показательная функция с основанием, равным числу (см.), задаваемая формулой у = е1. Иногда обозначается ехр дг. Экспоненциальная кривая на плоскости является графиком экспоненты, которая встречается в… … Большая политехническая энциклопедия
Экспонента — У этого термина существуют и другие значения, см. Экспонента (значения). График экспоненты. Касательная в нуле у функции … Википедия
экспонента — (от лат. exponens показывающий), то же, что показательная кривая или (экспоненциальная) показательная функция. * * * ЭКСПОНЕНТА ЭКСПОНЕНТА (от лат. exponens показывающий), то же, что показательная кривая (см. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ КРИВАЯ) или… … Энциклопедический словарь
экспонента — см. зкспоненциальная функция. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, , 2009. экспонента ы, ж. ( … Словарь иностранных слов русского языка
экспонента — eksponentė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. exponent vok. Exponente, f rus. экспонента, f pranc. exponentielle, f … Automatikos terminų žodynas
экспонента — eksponentė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponent vok. Exponente, f rus. экспонента, f pranc. exponentielle, f … Fizikos terminų žodynas
Что такое экспонента
Это число интересно тем, что повсеместно присутствует во многих разделах математики. Встретить его можно в тех областях, где математика «обслуживает» сложные физические процессы — например, затухающие колебания, ядерные реакции, радиоактивный распад и другое.
Затухающее гармоническое движение
Другой пример. Представь себе, что ты биолог и у тебя в специальном стеклянном блюдце (оно называется чашка Петри) с питательным раствором размножаются бактерии. При этом известно, что каждую минуту количество бактерий увеличивается вдвое.
Допустим, деление началось всего с одной бактерии. Через минуту бактерий будет 2, ещё через минуту 4, потом 8 и так далее. Чтобы посчитать, сколько в чашке бактерий на любой заданный момент времени, нужно применить (в качестве расчётной формулы) так называемую показательную функцию, то есть 2x (два в степени x; 2 — потому что бактерии удваиваются), где x — это заданное время в минутах от начала процесса. В математике самая «знаменитая» показательная функция — e в степени x. У неё даже есть специальное название — экспонента.
Есть ещё в высшей математике понятие производная от функции. Наглядно — это скорость роста (или убывания) графика функции в каждой точке её графика. Так вот, экспонента замечательна тем, что производная от неё равна самой функции, то есть скорость роста графика экспоненты — это тоже экспонента. И это единственная функция, которая обладает таким свойством.
Экспонента - это... Что такое Экспонента?
ЭКСПОНЕНТА — (от лат. exponens показывающий) то же, что показательная кривая или (экспоненциальная) показательная функция … Большой Энциклопедический словарь
ЭКСПОНЕНТА — ЭКСПОНЕНТА, число, обозначающее степень, которое пишется в виде верхнего индекса справа от цифры или символа. Например, в выражении а4=(а3а3а3а) экспонентой является 4. Операции с экспонентами подчиняются некоторым законам. Например, З23З5=3(2+5) … Научно-технический энциклопедический словарь
экспонента — сущ., кол во синонимов: 1 • кривая (56) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
экспонента — Показательная функция с основанием, равным иррациональному числу e, т.е. ex. Если показатель Э., еp(x) содержит сложные выражения, используется запись вида ep(x) = exp {p(x)}. Скорость изменения этой функции в точности равна ей самой . Число e… … Справочник технического переводчика
ЭКСПОНЕНТА — (экспоненциальная функция) то же, что показательная функция с основанием, равным числу (см.), задаваемая формулой у = е1. Иногда обозначается ехр дг. Экспоненциальная кривая на плоскости является графиком экспоненты, которая встречается в… … Большая политехническая энциклопедия
Экспонента — У этого термина существуют и другие значения, см. Экспонента (значения). График экспоненты. Касательная в нуле у функции … Википедия
экспонента — (от лат. exponens показывающий), то же, что показательная кривая или (экспоненциальная) показательная функция. * * * ЭКСПОНЕНТА ЭКСПОНЕНТА (от лат. exponens показывающий), то же, что показательная кривая (см. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ КРИВАЯ) или… … Энциклопедический словарь
экспонента — см. зкспоненциальная функция. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, , 2009. экспонента ы, ж. ( … Словарь иностранных слов русского языка
экспонента — eksponentė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. exponent vok. Exponente, f rus. экспонента, f pranc. exponentielle, f … Automatikos terminų žodynas
экспонента — eksponentė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponent vok. Exponente, f rus. экспонента, f pranc. exponentielle, f … Fizikos terminų žodynas
