Домой Регистрация
Приветствуем вас, Гость



Форма входа

Население


Вступайте в нашу группу Вконтакте! :)




ПОИСК


Опросник
Используете ли вы афоризмы и цитаты в своей речи?
Проголосовало 514 человек


Дифференциал в математике что это такое


Дифференциалы - это что такое? Как найти дифференциал функции?

Наряду с производными функций их дифференциалы – это одни из базовых понятий дифференциального исчисления, основного раздела математического анализа. Являясь неразрывно связанными между собой, оба они уже несколько столетий активно используются при решении практически всех задач, которые возникали в процессе научно-технической деятельности человека.

Возникновение понятия о дифференциале

Впервые разъяснил, что такое дифференциал, один из создателей (наряду с Исааком Ньютоном) дифференциального исчисления знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. До этого математиками 17 ст. использовалось весьма нечеткое и расплывчатое представление о некоторой бесконечно малой «неделимой» части любой известной функции, представлявшей очень малую постоянную величину, но не равную нулю, меньше которой значения функции быть просто не могут. Отсюда был всего один шаг до введения представления о бесконечно малых приращениях аргументов функций и соответствующих им приращениях самих функций, выражаемых через производные последних. И этот шаг был сделан практически одновременно двумя вышеупомянутыми великими учеными.

Исходя из необходимости решения насущных практических задач механики, которые ставила перед наукой бурно развивающаяся промышленность и техника, Ньютон и Лейбниц создали общие способы нахождения скорости изменения функций (прежде всего применительно к механической скорости движения тела по известной траектории), что привело к введению таких понятий, как производная и дифференциал функции, а также нашли алгоритм решения обратной задачи, как по известной (переменной) скорости найти пройденный путь, что привело к появлению понятия интеграла.

В трудах Лейбница и Ньютона впервые появилось представление о том, что дифференциалы - это пропорциональные приращениям аргументов Δх основные части приращений функций Δу, которые могут быть с успехом применены для вычисления значений последних. Иначе говоря, ими было открыто, что приращение функции может быть в любой точке (внутри области ее определения) выражено через ее производную как Δу = y'(x) Δх + αΔх, где α Δх – остаточный член, стремящийся к нулю при Δх→0, гораздо быстрее, чем само Δх.

Согласно основоположникам матанализа, дифференциалы – это как раз и есть первые члены в выражениях приращений любых функций. Еще не обладая четко сформулированным понятием предела последовательностей, они интуитивно поняли, что величина дифференциала стремится к производной функции при Δх→0 - Δу/Δх→ y'(x).

В отличие от Ньютона, который был прежде всего физиком, и рассматривал математический аппарат как вспомогательный инструмент исследования физических задач, Лейбниц уделял большее внимание самому этому инструментарию, включая и систему наглядных и понятных обозначений математических величин. Именно он предложил общепринятые обозначения дифференциалов функции dy = y'(x)dx, аргумента dx и производной функции в виде их отношения y'(x) = dy/dx.

Современное определение

Что такое дифференциал с точки зрения современной математики? Он тесно связан с понятием приращения переменной величины. Если переменная y принимает сначала значение y = y1, а затем y = y2, то разность y2 ─ y1 называется приращением величины y. Приращение может быть положительным. отрицательным и равным нулю. Слово «приращение» обозначается Δ, запись Δу (читается «дельта игрек») обозначает приращение величины y. так что Δу = y2 ─ y1.

Если величину Δу произвольной функции y = f (x) возможно представить в виде Δу = A Δх + α, где у A нет зависимости от Δх, т. е. A = const при данном х, а слагаемое α при Δх→0 стремится к нему же еще быстрее, чем само Δх, тогда первый («главный») член, пропорциональный Δх, и является для y = f (x) дифференциалом, обозначаемым dy или df(x) (читается «дэ игрек», «дэ эф от икс»). Поэтому дифференциалы – это «главные» линейные относительно Δх составляющие приращений функций.

Механическое истолкование

Пусть s = f (t) – расстояние прямолинейно движущейся материальной точки от начального положения (t – время пребывания в пути). Приращение Δs – это путь точки за интервал времени Δt, а дифференциал ds = f' (t) Δt – это путь, который точка прошла бы за то же время Δt, если бы она сохранила скорость f'(t), достигнутую к моменту t. При бесконечно малом Δt воображаемый путь ds отличается от истинного Δs на бесконечно малую величину, имеющую высший порядок относительно Δt. Если скорость в момент t не равна нулю, то ds дает приближенную величину малого смещения точки.

Геометрическая интерпретация

Пусть линия L является графиком y = f (x). Тогда Δ х= MQ, Δу = QM' (см. рисунок ниже). Касательная MN разбивает отрезок Δу на две части, QN и NM'. Первая пропорциональна Δх и равна QN = MQ∙tg (угла QMN) = Δх f '(x), т. е QN есть дифференциал dy.

Вторая часть NM'дает разность Δу ─ dy, при Δх→0 длина NM' уменьшается еще быстрее, чем приращение аргумента, т.е у нее порядок малости выше, чем у Δх. В рассматриваемом случае, при f '(x) ≠ 0 (касательная не параллельна ОХ), отрезки QM'и QN эквивалентны; иными словами NM' уменьшается быстрее (порядок малости ее выше), чем полное приращение Δу = QM'. Это видно на рисунке (с приближением M'к М отрезок NM'составляет все меньший процент отрезка QM').

Итак, графически дифференциал произвольной функции равен величине приращения ординаты ее касательной.

Производная и дифференциал

Коэффициент A в первом слагаемом выражения приращения функции равен величине ее производной f '(x). Таким образом, имеет место следующее соотношение - dy = f '(x)Δх, или же df (x) = f '(x)Δх.

Известно, что приращение независимого аргумента равно его дифференциалу Δх = dx. Соответственно, можно написать: f '(x) dx = dy.

Нахождение (иногда говорят, «решение») дифференциалов выполняется по тем же правилам, что и для производных. Перечень их приведен ниже.

Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал

Здесь необходимо сделать некоторые пояснения. Представление величиной f '(x)Δх дифференциала возможно при рассмотрении х в качестве аргумента. Но функция может быть сложной, в которой х может быть функцией некоторого аргумента t. Тогда представление дифференциала выражением f '(x)Δх, как правило, невозможно; кроме случая линейной зависимости х = at + b.

Что же касается формулы f '(x)dx= dy, то и в случае независимого аргумента х (тогда dx = Δх), и в случае параметрической зависимости х от t, она представляет дифференциал.

Например, выражение 2 x Δх представляет для y = x2 ее дифференциал, когда х есть аргумент. Положим теперь х= t2 и будем считать t аргументом. Тогда y = x2 = t4.

Далее следует (t +Δt)2 = t2 + 2tΔt + Δt2. Отсюда Δх = 2tΔt + Δt2. Значит: 2xΔх = 2t2 (2tΔt + Δt2 ).

Это выражение не пропорционально Δt и потому теперь 2xΔх не является дифференциалом. Его можно найти из уравнения y = x2 = t4. Он оказывается равен dy=4t3Δt.

Если же взять выражение 2xdx, то оно представляет дифференциал y = x2 при любом аргументе t. Действительно, при х= t2 получим dx = 2tΔt.

Значит 2xdx = 2t22tΔt = 4t3Δt, т. е. выражения дифференциалов, записанные через две разные переменные, совпали.

Замена приращений дифференциалами

Если f '(x) ≠ 0, то Δу и dy эквивалентны (при Δх→0); при f '(x) = 0 (что означает и dy = 0), они не эквивалентны.

Например, если y = x2, то Δу = (x + Δх)2 ─ x2= 2xΔх + Δх2, а dy=2xΔх. Если х=3, то имеем Δу = 6Δх + Δх2 и dy = 6Δх, которые эквивалентны вследствие Δх2→0, при х=0 величины Δу = Δх2 и dy=0 не эквивалентны.

Этот факт, вместе с простой структурой дифференциала (т. е. линейности по отношению к Δх), часто используется в приближенных вычислениях, в предположении, что Δу ≈ dy для малых Δх. Найти дифференциал функции, как правило, легче, чем вычислить точное значение приращения.

Например, имеем металлический куб с ребром х=10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на Δх = 0,001 см. Насколько увеличился объем V куба? Имеем V = х2, так что dV = 3x2Δх = 3∙102∙0/01 = 3 (см3). Увеличение объема ΔV эквивалентно дифференциалу dV, так что ΔV = 3 см3. Полное вычисление дало бы ΔV =10,013 ─ 103 = 3,003001. Но в этом результате все цифры, кроме первой ненадежны; значит, все равно, нужно округлить его до 3 см3.

Очевидно, что такой подход является полезным, только если возможно оценить величину привносимой при этом ошибки.

Дифференциал функции: примеры

Попробуем найти дифференциал функции y = x3, не находя производной. Дадим аргументу приращение и определим Δу.

Δу = ( Δх + x)3 ─ x3 = 3x2Δх + (3xΔх2 + Δх3).

Здесь коэффициент A= 3x2 не зависит от Δх, так что первый член пропорционален Δх, другой же член 3xΔх2 + Δх3 при Δх→0 уменьшается быстрее, чем приращение аргумента. Стало быть, член 3x2Δх есть дифференциал y = x3:

dy=3x2Δх=3x2dx или же d(x3) = 3x2dx.

При этом d(x3) / dx = 3x2.

Найдем теперь dy функции y = 1/x через ее производную. Тогда d(1/x) / dx = ─1/х2. Поэтому dy = ─ Δх/х2.

Дифференциалы основных алгебраических функций приведены ниже.

Приближенные вычисления с применением дифференциала

Вычислить функцию f (x), а также ее производную f '(x) при x=a часто нетрудно, а вот сделать то же самое в окрестности точки x=a бывает нелегко. Тогда на помощь приходит приближенное выражение

f(a + Δх) ≈ f '(a)Δх + f(a).

Оно дает приближенное значение функции при малых приращениях Δх через ее дифференциал f '(a)Δх.

Следовательно, данная формула дает приближенное выражение для функции в конечной точке некоторого участка длиной Δх в виде суммы ее значения в начальной точке этого участка (x=a) и дифференциала в той же начальной точке. Погрешность такого способа определения значения функции иллюстрирует рисунок ниже.

Однако известно и точное выражение значения функции для x=a+Δх, даваемое формулой конечных приращений (или, иначе, формулой Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f '(ξ) Δх + f(a),

где точка x = a+ ξ находится на отрезке от x = a до x = a + Δх, хотя точное положение ее неизвестно. Точная формула позволяет оценивать погрешность приближенной формулы. Если же в формуле Лагранжа положить ξ = Δх /2, то хотя она и перестает быть точной, но дает, как правило, гораздо лучшее приближение, чем исходное выражение через дифференциал.

Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала

Измерительные инструменты в принципе неточны, и привносят в данные измерений, соответствующие ошибки. Их характеризуют предельной абсолютной погрешностью, или, короче, предельной погрешностью – положительным числом, заведомо превышающим эту ошибку по абсолютной величине (или в крайнем случае равным ей). Предельной относительной погрешностью называют частное от ее деления на абсолютное значение измеренной величины.

Пусть точная формула y= f (x) использована для вычисляения функции y, но значение x есть результат измерения и поэтому привносит в y ошибку. Тогда, чтобы найти предельную абсолютную погрешность │‌‌Δу│функции y, используют формулу

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f '(x)││Δх│,

где │Δх│является предельной погрешностью аргумента. Величину │‌‌Δу│ следует округлить в сторону увеличения, т.к. неточной является сама замена вычисления приращения на вычисление дифференциала.

fb.ru

Дифференциал функции

Если функция дифференцируема в точке, то её приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых

, где

. Эти слагаемые являются бесконечно малыми функциями при .Первое слагаемое линейно относительно ,второе является бесконечно малой более высокого порядка, чем .Действительно,

.

Таким образом второе слагаемое при быстрее стремится к нулю и при нахождении приращения функцииглавную роль играет первое слагаемоеили (так как).

Определение. Главная часть приращения функции в точке , линейная относительно,называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается dy или df(x)

. (2)

Таким образом, можно сделать вывод: дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением, то есть .

Соотношение (2) теперь принимает вид

(3)

Замечание. Формулу (3) для краткости часто записывают в виде

(4)

Геометрический смысл дифференциала

Рис.2

Рассмотрим график дифференцируемой функции . Точкиипринадлежат графику функции. В точкеМ проведена касательная К к графику функции, угол которой с положительным направлением оси обозначим через. Проведем прямыеMN параллельно оси Ox и параллельно осиOy. Приращение функции равно длине отрезка . Из прямоугольного треугольника, в котором, получим

.

Изложенные выше рассуждения позволяют сделать вывод:

Дифференциал функции в точке изображается приращением ординаты касательной к графику этой функции в соответствующей её точке.

Связь дифференциала с производной

Рассмотрим формулу (4)

.

Разделим обе части этого равенства на dx , тогда

.

Таким образом, производная функции равна отношению её дифференциала к дифференциалу независимой переменной.

Часто это отношение рассматривается просто как символ, обозначающий производную функцииу по аргументу х.

Удобными обозначениями производной также являются:

, и так далее.

Употребляются также записи

, ,

особенно удобные, когда берется производная от сложного выражения.

2. Дифференциал суммы, произведения и частного.

Так как дифференциал получается из производной умножением её на дифференциал независимой переменной, то, зная производные основных элементарных функций, а также правила для отыскания производных, можно прийти к аналогичным правилам для отыскания дифференциалов.

10. Дифференциал постоянной равен нулю

.

20. Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций

.

30. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений первой функции на дифференциал второй и второй функции на дифференциал первой

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

.

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение.Запишем данную функцию в виде

,

тогда получим

.

.

4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

Определение. Функция называется заданной параметрически, если обе переменныех и у определяются каждая в отдельности как однозначные функции от одной и той же вспомогательной переменной – параметра t:

где t изменяется в пределах .

Замечание. Параметрическое задание функций широко применяется в теоретической механике, где параметр t обозначает время, а уравнения представляют собой законы изменения проекций движущейся точкина осии.

Замечание. Приведем параметрические уравнения окружности и эллипса.

а) Окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет параметрические уравнения:

где .

б) Запишем параметрические уравнения для эллипса:

где .

Исключив параметр t из параметрических уравнений рассматриваемых линий, можно прийти к их каноническим уравнениям.

Теорема. Если функция у от аргумента х задана параметрически уравнениями , гдеидифференцируемые поt функции и , то

.

Пример. Найти производную функции у от х , заданной параметрическими уравнениями.

Решение. .

studfiles.net

Дифференциал (математика) - это... Что такое Дифференциал (математика)?

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Обычно дифференциал функции обозначается . Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке обозначается , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке от может обозначаться как , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

Определения

Для функций

Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

где обозначает производную в точке .

Таким образом есть функция двух аргументов .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от и для которой верно следующее соотношение

Для отображений

Дифференциалом отображения в точке называют линейный оператор такой, что выполняется условие

Связанные определения

Свойства

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

Литература

dic.academic.ru

Дифференциал функции: основные понятия и определения

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Пусть функция в точке имеет отличную от нуля производную

   

Тогда в некоторой окрестности этой точки отношение

   

где при Тому приращение функции можно представить в виде:

   

При этом величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем и бесконечно малая поэтому величину называют главной частью приращения функции .

Замечание. Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка.

Найдем дифференциал независимой переменной то есть дифференциал функции Так как получаем, что

   

то

   

То есть дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

   

Тогда формула для дифференциала перепишется в виде:

   

Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной указанной функции на дифференциал независимой переменной.

Геометрический и механический смыслы дифференциала функции

Геометрически дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в рассматриваемой точке, когда переменная получает приращение .

Механический смысл дифференциала. Пусть материальная точка двигается по закону Дифференциал функции равен:

   

Для фиксированных значений и – это тот путь, который бы прошла материальная точка за время в случае, если она будет двигаться равномерно и прямолинейно с постоянною скоростью

Стоит отметить, что фактический путь в случае неравномерного движения материальной точки, в отличии от дифференциала не является линейной функцией времени а поэтому отличается от пути Но все же, если время является достаточно малым, то скорость движения существенно не изменяется и поэтому движение точки на промежутке времени от до есть практически равномерным.

Основные формулы дифференциала

Основные формулы, которые связаны с дифференциалами, можно получить, используя связь между дифференциалом функции и ее производной, то есть тот факт, что а также соответствующие формулы для производных.

Рассмотрим две дифференцируемые функции и Тогда имеют место следующие равенства:

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Дифференциал функции

Если дана дифференцируемая функция $y = f(x)$, то ее приращение

Где $\alpha \to 0$ при $\Delta x\to 0$.

При $\Delta x\to 0$ величина $\alpha $$\Delta $х - бесконечно малая порядка выше, чем $\Delta $х. Из равенства $\Delta $y следует, что приращение функции, которая имеет производную в точке х, не равную нулю, может быть представлено в виде суммы двух слагаемых. В первое слагаемое f`(х) приращение $\Delta $х является приращением первой степени. Именно это слагаемое является главной частью приращения функции и называется ее дифференциалом.

Определение

Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной.

Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:

$dy = f `(x) \Delta х$

Что такое дифференциал независимой переменной

Определение

Дифференциалом независимой переменной называется ее приращение dx = $\Delta $х.

$\Delta $y = dy + $\alpha $$\Delta $х

Второе слагаемое выражения$\Delta y=f'(x)\Delta x+\alpha \Delta x$ при $\Delta x\to 0$ - бесконечно малая высшего порядка величина. Таким образом, разность $\Delta $y -- dy между приращением функции и ее дифференциалом равная $\alpha $$\Delta $х -- бесконечно малая величина высшего по сравнению с $\Delta $х порядка.

Для вычисления дифференциала функции необходимо задать начальное значение независимой переменной x и ее приращение. Если приращение слишком мало, а f `(x) не равно нулю, то величина $\alpha $$\Delta $х значительно меньше дифференциала функции, причем тем меньше, чем меньше $\Delta $х.

Поэтому в ряде случаев вычисление приращения функции заменяется вычислением дифференциала функции с некоторым приближением. Дифференциал функции вычисляется проще, т.к. требует нахождения лишь ее производной для расчета произведения с независимой переменной:

\[\Delta y\approx dy\]

Поскольку

\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] \[dy=f'(x)\Delta x\]

Наращенное значение функции имеет вид:

\[f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x)\Delta x\]

С помощью этой приближенной формулы можно находить приближенное значение функции в точке x + $\Delta $х ,близкой к х по известному значению функции.

Дифференцирование основных элементарных функций получается путем нахождения производной и добавления к ней переменной dx.

\[d(cu)=cdu\] \[d(u\pm v)=du\pm dv\] \[d(uv)=udv+vdu\] \[d\left(\frac{u}{v} \right)=\frac{vdu-udv}{v^{2} } \]

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Пример 1

Определить приращение и дифференциал функции y = x2 при переходе х от значения 2 к значению 2,03.

Решение.

  1. Определим приращение заданной функции при произвольных значениях х и $\Delta $х.
  2. \[dy=y'dx=2xdx\] \[\Delta y=(x+\Delta x)^{2} -x^{2} =x^{2} +2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^{2} -x^{2} =2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^{2} \]
  3. Найдем приращение аргумента.
  4. \[\Delta x=2,03-2=0,03\]
  5. Подставим числовые значения в равенство приращения функции
  6. \[\Delta y=2\cdot 2\cdot 0,03+\left(0,03\right)^{2} =0,12+0,0009\]

Пример 2

Показать, что при $\Delta x\to 0$ с точностью до бесконечно малой высшего порядка имеет место приближенное равенство

\[(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x\]

Решение.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$. Тогда

\[\Delta y=(x+\Delta x)^{n} -x^{n} \] \[dy=nx^{n-1} \Delta x\]

Поскольку $\Delta y\approx dy$, то:

\[(x+\Delta x)^{n} -x^{n} \approx nx^{n-1} \Delta x\] \[(x+\Delta x)^{n} \approx x^{n} +nx^{n-1} \Delta x\]

Полагая, что х = 1, для достаточно малых приращений имеет место приближенное равенство

\[(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x\]

Формула, полученная в примере 2, широко используется для приближенных вычислений.

\[(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x\]

Например:

  1. Приближенно вычислить $(1,02)^3$
  2. Где $\Delta х = 0,03, n = 5$

    \[(1,02)^{3} \approx 1+0,02\cdot 3\]

    Где $\Delta $х = 0,03, n = 5

    \[(1,02)^{3} \approx 1,06\]
  3. Приближенно вычислить $\sqrt{1,005} $
  4. Где $\Delta х = 0,005, n =0,5$

    \[\sqrt{1,005} \approx 1+0,5\cdot 0,005\] \[\sqrt{1,005} \approx 1,0025\]

Пример 3

При нагревании объем твердого тела растет пропорционально кубу его линейного расширения. Если $\alpha $ -- коэффициент объемного расширения, а t -- температура, то имеет место формула

\[1+\beta t=(1+\alpha t)^{3} \]

Доказать, что

\[\beta \approx 3\alpha \]

Доказательство.

При малых $\alpha $

\[(1+\alpha t)^{3} \approx 1+3\alpha t\]

Значит, $1+\beta t=1+3\alpha t$ и $\beta \approx 3\alpha $

spravochnick.ru

ДИФФЕРЕНЦИАЛ - это... Что такое ДИФФЕРЕНЦИАЛ?

dic.academic.ru


Смотрите также




© 2012 - 2020 "Познавательный портал yznai-ka.ru!". Содержание, карта сайта.