Домой Регистрация
Приветствуем вас, Гость



Форма входа

Население


Вступайте в нашу группу Вконтакте! :)




ПОИСК


Опросник
Используете ли вы афоризмы и цитаты в своей речи?
Проголосовало 514 человек


Что это такое биссектриса


Биссектриса - это... Что такое Биссектриса?

Биссектриса (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла[1]. Биссектриса угла - геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон угла.

В треугольнике под биссектрисой угла может также пониматься отрезок биссектрисы этого угла до её пересечения с противолежащей стороной треугольника.

Свойства

Построение биссектрисы

Длина биссектрис в треугольнике

Биссектриса Треугольника ABC

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

где:

Мнемоническое правило

Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам[4].

Облегчает запоминание формулировки. Чаще всего употребляется детьми.

dic.academic.ru

БИССЕКТРИСА - это... Что такое БИССЕКТРИСА?

dic.academic.ru

Биссектриса угла

2 июня 2018

Сегодня будет очень лёгкий урок. Мы рассмотрим всего один объект — биссектрису угла — и докажем важнейшее её свойство, которое очень пригодится нам в будущем.

Только не надо расслабляться: иногда ученики, желающие получить высокий балл на том же ОГЭ или ЕГЭ, на первом занятии даже не могут точно сформулировать определение биссектрисы.

И вместо того, чтобы заниматься действительно интересными задачами, мы тратим время на такие простые вещи. Поэтому читайте, смотрите — и берите на вооружение.:)

Для начала немного странный вопрос: что такое угол? Правильно: угол — это просто два луча, выходящих из одной точки. Например:

Примеры углов: острый, тупой и прямой

Как видно из картинки, углы могут быть острыми, тупыми, прямыми — это сейчас неважно. Часто для удобства на каждом луче отмечают дополнительную точку и говорят, мол, перед нами угол $AOB$ (записывается как $\angle AOB$).

Капитан очевидность как бы намекает, что помимо лучей $OA$ и $OB$ из точки $O$ всегда можно провести ещё кучу лучей. Но среди них будет один особенный — его-то и называют биссектрисой.

Определение. Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины этого угла и делит угол пополам.

Для приведённых выше углов биссектрисы будут выглядеть так:

Примеры биссектрис для острого, тупого и прямого угла

Поскольку на реальных чертежах далеко не всегда очевидно, что некий луч (в нашем случае это луч $OM$) разбивает исходный угол на два равных, в геометрии принято помечать равные углы одинаковым количеством дуг (у нас на чертеже это 1 дуга для острого угла, две — для тупого, три — для прямого).

Хорошо, с определением разобрались. Теперь нужно понять, какие свойства есть у биссектрисы.

Основное свойство биссектрисы угла

На самом деле у биссектрисы куча свойств. И мы обязательно рассмотрим их в следующем уроке. Но есть одна фишка, которую нужно понять прямо сейчас:

Теорема. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.

В переводе с математического на русский это означает сразу два факта:

  1. Всякая точка, лежащая на биссектрисе некого угла, находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.
  2. И наоборот: если точка лежит на одинаковом расстоянии от сторон данного угла, то она гарантированно лежит на биссектрисе этого угла.

Прежде чем доказывать эти утверждения, давайте уточним один момент: а что, собственно, называется расстоянием от точки до стороны угла? Здесь нам поможет старое-доброе определение расстояния от точки до прямой:

Определение. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к этой прямой.

Например, рассмотрим прямую $l$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой. Проведём перпендикуляр $AH$, где $H\in l$. Тогда длина этого перпендикуляра и будет расстоянием от точки $A$ до прямой $l$.

Графическое представление расстояния от точки до прямой

Поскольку угол — это просто два луча, а каждый луч — это кусок прямой, легко определить расстояние от точки до сторон угла. Это просто два перпендикуляра:

Определяем расстояние от точки до сторон угла

Вот и всё! Теперь мы знаем, что такое расстояние и что такое биссектриса. Поэтому можно доказывать основное свойство.

Как и обещал, разобьём доказательство на две части:

1. Расстояния от точки на биссектрисе до сторон угла одинаковы

Рассмотрим произвольный угол с вершиной $O$ и биссектрисой $OM$:

Докажем, что эта самая точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от сторон угла.

Доказательство. Проведём из точки $M$ перпендикуляры к сторонам угла. Назовём их $M{{H}_{1}}$ и $M{{H}_{2}}$:

Провели перпендикуляры к сторонам угла

Получили два прямоугольных треугольника: $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные углы:

  1. $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$ по условию (поскольку $OM$ — биссектриса);
  2. $\angle M{{H}_{1}}O=\angle M{{H}_{2}}O=90{}^\circ $ по построению;
  3. $\angle OM{{H}_{1}}=\angle OM{{H}_{2}}=90{}^\circ -\angle MO{{H}_{1}}$, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусов.

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (см. признаки равенства треугольников). Поэтому, в частности, $M{{H}_{2}}=M{{H}_{1}}$, т.е. расстояния от точки $O$ до сторон угла действительно равны. Что и требовалось доказать.:)

2. Если расстояния равны, то точка лежит на биссектрисе

Теперь обратная ситуация. Пусть дан угол $O$ и точка $M$, равноудалённая от сторон этого угла:

Докажем, что луч $OM$ — биссектриса, т.е. $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$.

Доказательство. Для начала проведём этот самый луч $OM$, иначе доказывать будет нечего:

Провели луч $OM$ внутри угла

Снова получили два прямоугольных треугольника: $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$. Очевидно, что они равны, поскольку:

  1. Гипотенуза $OM$ — общая;
  2. Катеты $M{{H}_{1}}=M{{H}_{2}}$ по условию (ведь точка $M$ равноудалена от сторон угла);
  3. Оставшиеся катеты тоже равны, т.к. по теореме Пифагора $OH_{1}^{2}=OH_{2}^{2}=O{{M}^{2}}-MH_{1}^{2}$.

Следовательно, треугольники $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$ по трём сторонам. В частности, равны их углы: $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$. А это как раз и означает, что $OM$ — биссектриса.

В заключение доказательства отметим красными дугами образовавшиеся равные углы:

Биссектриса разбила угол $\angle {{H}_{1}}O{{H}_{2}}$ на два равных

Как видите, ничего сложного. Мы доказали, что биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых до сторон этого угла.:)

Теперь, когда мы более-менее определились с терминологией, пора переходить на новый уровень. В следующем уроке мы разберём более сложные свойства биссектрисы и научимся применять их для решения настоящих задач.

Смотрите также:

www.berdov.com

биссектриса - это... Что такое биссектриса?

russian_argo.academic.ru

Ответы@Mail.Ru: люди кто знает что такое биссектриса?

Биссектриса (от лат. bis - дважды и seco - рассекаю) угла, прямая, проходящая через вершину угла и делящая его пополам. Б. треугольника - отрезок Б. одного из углов треугольника от вершины угла до пересечения с противоположной стороной. Б. делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные боковым сторонам. Большая советская энциклопедия СКАЗКА Мышкина тропинка Пришла весна. Высунула Мышка нос из норки. Смотрит, а в этом месте лисы себе тропинки проложили. Бегать к ручью теперь страшно, а бросать хорошую норку жалко. Слышит Мышка- рядом Барсук в своей норе проснулся. Постучалась она к нему: «Барсук, Барсук! Как мне быть? » - « А ты свою тропинку к ручью протопчи - подальше от лисьих! » «Протаптывай тропинку по биссектрисе! » «А что такое биссектриса? » - спросила Мышка. «Биссектриса сказал Барсук, это луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам» . Сказал и опять спать завалился. Запомнила Мышка слова Барсука, а прокладывать тропинку боится. Вдруг видит, из соседней норы Змея выглянула. «Змейка, Змейка! - просит МышкаПришла весна. Высунула Мышка нос из норки. Смотрит, а в этом месте лисы себе тропинки проложили. Бегать к ручью теперь страшно, а бросать хорошую норку жалко. Слышит Мышка- рядом Барсук в своей норе проснулся. Постучалась она к нему: «Барсук, Барсук! Как мне быть? » - « А ты свою тропинку к ручью протопчи - подальше от лисьих! » «Протаптывай тропинку по биссектрисе! » «А что такое биссектриса? » - спросила Мышка. «Биссектриса сказал Барсук, это луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам» . Сказал и опять спать завалился. Запомнила Мышка слова Барсука, а прокладывать тропинку боится. Вдруг видит, из соседней норы Змея выглянула. «Змейка, Змейка! - просит Мышка ,-проложи мне тропинку к ручью! Только по биссектрисе! » Хотела было Змея съесть Мышку, но заинтересовалась: «А что такое биссектриса? » «Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам» . «Ясно» , - сказала Змея и проложила вот такую тропинку. «Змейка! - прокричала ей вслед Мышка. - Это кривая тропинка! Если я побегу по ней, лиса сразу меня догонит. Ведь биссектриса это луч! » Но Змеи и след простыл. Пригорюнилась Мышка. Вдруг видит: Заяц бежит. «Заяц, Заяц! Проложи мне тропинку к ручью! Только по биссектрисе! » «Так называется луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам. Змея не поняла и проложила кривую тропинку. А мне нужна тропинка прямая! Как лучик! » «Ясно! » - сказал Заяц, подпрыгнул и помчался к ручью. «Заяц! - прокричала Мышка ему вслед. Твоя тропинка начинается не от норки. Пока я до нее доберусь, меня поймает лиса. Биссектриса ведь выходит из вершины угла! » Но Зайца и след простыл. Еще пуще пригорюнилась Мышка. Видит, Крот из-под земли вылезает. «Крот, Крот! Проложи мне тропинку к ручью! Только по биссектрисе! » Хотел, было Крот юркнуть обратно под землю, но заинтересовался: «А что такое биссектриса? » «Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам, - повторила Мышка. – Змея проложила мне кривую тропинку, Заяц проложил тропинку не от самой норки» . «Ясно» , - сказал Крот и двинулся к ручью. Но глазомер у Крота никудышный. И проложил он тропинку так, что угол между лисьими тропами не разделился пополам. «Крот! – закричала Мышка. – Твоя тропинка идет слишком близко к лисьей. Мне будет страшно бежать по ней» . Но Крота и след простыл. Вконец расстроилась Мышка. Но тут из своей норы опять вылез Барсук. «Барсук, выручай! Змея проложила мне кривую тропинку, Заяц проложил тропинку не от самой норки, а Крот слишком близко к лисьей» . «Ладно, - сказал Барсук, - все равно мне к ручью идти. С самой осени не умывался. Проложу я тебе тропинку точно по биссектрисе. Она будет от обеих лисьих троп одинаково далеко» . Сказал и сделал. Вот какая тропинка получилась. По ней бегать к ручью не так уж страшно!

Это такая крыса, котрая бегает по углам и делит угол пополам!

..это крыса, которая лазит по углам и делит угол пополам....

меня в первом классе учили! Биссектриса - это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам !

если не ошибаюсь это из области математики.... ну там треугольники всякие что-то с этим связанно....

биссектрисса делит угол пополам

просто биссектриса? если да, то не могу дать полное определение, но смысл в том, что это прямая, делящая угол на два равных угла, а если биссектриса треугольника, то могу: это прямая соединяющая вершину угла с точкой противоположной стороны))))

Биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. И делит угол на 30 градусов.

Прямая, проведенная из вершины угла, и делящая его на 2 равные части.

Биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

Биссектриса - отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне и делит внутренний угол пополам. В обычном треугольнике она не совпадает с медианой и высотой, но в равнобедренном они совпадают. Свойство биссектрис-три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая всегда лежит внутри треугольника.

Биссектриса это такая крыса которая бегает по углам и делит угол пополам Биссектриса угла- это луч с началом в вершине угла, делящий угол на два разных угла.

Биссектриса это такая крыса которая бегает по углам и делит угол пополам

Построение биссектрисы Биссектрису угла строится с помощью транспортира, при использовнии его градусной меры. Чтобы приступить к построению биссектрисы, мы берем и делим градусную меру пополам и, отложив на одной стороне вершины градусную меру половинного угла, и тогда вторая половина становится биссектрисой заданного угла. биссектриса Берем заданный угол, который имеет градусную меру в девяносто градусов, и с помощью биссектрисы получаем два построенных угла по 45 градусов. Развернутый угол при помощи биссектрисы разделяет угол на 2 прямых угла. Тупой же угол при построении биссектрисы разделяет его на 2 острых угла. Из определения биссектрисы нам известно, что она является лучом, разделяющим угол пополам. Чтобы построить биссектрису, значит, нужно угол разделить пополам. Алгоритм построения биссектрисы угла 1. Вначале чертим окружность с центром в вершине угла таким образом, чтобы она пересекала его стороны. 2. Далее делаем замеры циркулем расстояния между точками, где пересекается сторона угла с окружностью. биссектриса 3. Чертим 2 окружности радиусом так, чтобы они имели точку пересечения внутри этого угла. биссектриса 4. Теперь проводим из вершины угла луч таким методом, чтобы он проходил через точку пересечения этих окружностей. Этот луч и является биссектрисой данного угла. биссектриса А теперь давайте попробуем доказать, что полученный луч является биссектрисой этого угла. Возьмем на примере двух треугольников, у которых одна сторона общая, то есть отрезок от вершины до точки пересечения окружностей, которую мы получили в 3п. 2-я пара соответствующих сторон – это полученные в 1п., отрезки, которые идут от вершины угла до точек пересечения окружности с его сторонами. Третья пара соответствующих сторон - это соответственно отрезки, полученные в 1п. от точек пересечения окружности, до точки пересечения окружностей, но полученных в 3п. Следовательно, 2 пары данных отрезков равны, поскольку являются радиусами одной или двух окружностей, но с одинаковым радиусом. Отсюда следует, что по всем трем сторонам треугольники равны. Известно, что когда треугольники равны, то равны и их углы. Поэтому при вершине два новых угла и данных угла по условию задачи равны, следовательно, что построенный луч будет биссектрисой. Занимательная информация о биссектрисе Знали ли вы, что существует такая наука, которая называется мнемоника, что в переводе с греческого языка обозначает искусство запоминания. И чтобы лучше запомнить определение биссектрисы существует такое мнемоническое правило, по которому биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. биссектриса Известно ли вам, что еще Архимед использовал теорему о биссектрисе. Он ее применял для деления основания на части, которые пропорциональны боковым сторонам с целью определения длины полу сторон двенадцати угольника, 24-угольника и т. д. Легенда о биссектрисе угла Сказка о двух Углах и Биссектрисе, или Образование Смежного угла. Однажды два угла повстречались на одной площади. Старшему углу было около 130 градусов, а младшему всего пятьдесят. Так как это сказка, то заменим годы на градусы. Вот они встретились и начали спорить, кто из них лучше и важнее. Старший считал, что приоритет на его стороне, так как он старше, мудрее и больше на своем веку повидал за свои 130°. Младший наоборот твердил, что он моложе, потому сильнее и выносливее. И чтобы спор не длился вечность, они приняли решение провести турнир. Об этих состязаниях узнала Биссектриса и решила победить своих врагов одновременно и возглавить Геометрию. И вот настало долгожданное время турнира, на котором было 2 Угла. В момент полного разгара сражений появилась Биссектриса и решила принять участие. Но тут в бой с Биссектрисой вступил вначале старший Угол, затем подтянулся и младший,

луч делящий угол на 2 равных угла

биссектриса это луч который делит угол по полам

биссектриса, такая крыса, бегает по углам и делит угол попалам)

Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла...

touch.otvet.mail.ru

биссектриса - это... Что такое биссектриса?

krylov.academic.ru


Смотрите также




© 2012 - 2020 "Познавательный портал yznai-ka.ru!". Содержание, карта сайта.